Les inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithmiques, etc.) permettent de préciser le comportement en temps petit et en temps grand de solutions de certaines EDP d'évolution (chaleur, Fokker-Planck, milieux poreux, etc.). Par ailleurs, Felix Otto a montré que certaines de ces équations peuvent s'interpréter comme un flot gradient dans un espace de mesures de probabilité (et les inégalités fonctionnelles associées comme des propriétés de convexité de certaines fonctionnelles). On présentera ces travaux fondateurs et certains de leurs développements, classiques ou plus récents.