Quelques propriètés du groupe de Cremona

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe. Les transformations birationnelles apparaissent dans de nombreux contexts. Par exemple lorsqu'on int\`egre une \'equation diff\'erentielle du type $y'=f(x,y)$ avec f homog\`ene on fait un changement de variables$(x,t)\mapsto (x,t/x)$ ; cette transformation aussi appel\'ee \'eclatement est le prototype de transformations birationnelles. Un autre exemple est le suivant : Noether a d\'emontr\'e que si C est une courbe alg\`ebrique plane il existe une transformation birationnelle qui transforme C en une courbe dont les points singuliers sont ordinaires (au voisinage de chacun d'eux la courbe est réunion de "branches" lisses se coupant deux \`a deux transversalement).Apr\`es avoir introduit le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe j'en donnerai quelques propri\'et\'es en faisant un parall\`ele avec les groupes lin\'eaires. Puis j'\'evoquerai des propri\'et\'es g\'eom\'etriques et dynamiques comme par exemple la classification de ses \'el\'ements à conjugaison birationnelle pr\`es.